نظرات فى كتاب الجبر والمقابلة

[رضا البطاوى]

نظرات فى كتاب الجبر والمقابلة
الكتاب من تأليف محمد بن موسى الخوارزمى وهو من تحقيق على مصطفى مشرفة وعلى مرسى أحمد
درست الجبر فى المدرسة فلم أجد فيه فائدة لكونه مجرد معادلات خالية من أى شىء سوى الرموز والأعداد ففهمت أنه علم مجرد لا يطبق فى الحياة وفى هذا كتبت فى كتاب الرياضيات الذى ألفته مطالبا بإزالته من المناهج الدراسية
ومن خلال كتاب الخوارزمى الذى قرأته فهمت اللغز وهو أن الجهلاء القائمين على التعليم فى بلادنا ينقلون نقل المسطرة عن الغرب الذى خلع عن هذا العلم فوائده بتجريده أى جعله مجرد معادلات عددية ورمزية لا علاقة لها بواقع حياتنا
وأما فى كتاب الخورازمى فالوضع مختلف فالعلم يستخدم فى أمور كثيرة فى الحياة كالبيع والشراء والميراث وغيرهما وفى هذا قال الرجل:
" على أنى ألفت من كتاب الجبر والمقابلة كتابا مختصرا للطيف الحساب وجليله لما يلزم الناس من الحاجة إليه فى مواريثهم ووصاياهم وفى مقاسمتهم وأحكامهم وتجاراتهم وفى جميع ما يتعاملون به من مساحة الأرضين وكرى الأنهار والهندسة وغير ذلك من وجوهه وفنونه "ص15وص16
وقد استخدم الخوارزمى علمه هذا فى توزيع الميراث فضرب أمثلة كثيرة منها :
"رجل مات وترك ابنين وأوصى بثلث ماله لرجل أجنبى وترك عشرة دراهم عينا وعشرة دراهم دينا على أحد الابنين قياسه أن تجعل المستخرج من الدين شيئا فتزيده على العين وهو عشرة دراهم فيكون عشرة وشيئا ثم تعزل ثلثها لأنه أوصى بثلث ماله وهو ثلاثة دراهم وثلث وثلث شىء فيبقى ستة دراهم وثلثان وثلثا لشىء فتقسمه بين الاثنين فيصيب كل ابن ثلاثة دراهم وثلث درهم فهو يعدل الشىء المستخرج فقابل به فتلقى ثلثا من شىء بثلث شىء فيبقى ثلثا شىء تعدل ثلاثة دراهم وثلثا فتحتاج تكمل لأن تكمل الشىء الذى استخرج من الدين "ص67
كما استخدمه فى حساب أجرة أجير فقال :
"فإن سأل سائل أجير أجرته فى الشهر عشرة دراهم عمل ستة أيام كم نصيبه فقد علمت أن الستة أيام خمس الشعر وأن الذى يصيبه من الدراهم بقدر ما عمل من الشعر وقياس ذلك أن قوله شهر وهو ثلاثون يوما وهو المسعر وقوله عشرة دراهم هو السعر وقوله ستة أيام هو المثمن وقوله كم نصيبه هو الثمن فاضرب السعر الذى هو عشرة فى المثمن الذى هو مباينه وهو ستة فيكون ستين فاقسمه على الثلاثين التى هى العدد الظاهر وهو المسعر فيكون ذلك درهمين وهو الثمن "ص54
وضرب العديد من الأمثلة لبيان حساب مساحات الأشكال فقال فى قواعد حساب المساحة:
"باب المساحة اعلم أن معنى واحد فى واحد إنما هو مساحة ومعناه ذراع فى ذراع فكل سطح متساوى الأضلاع والزوايا يكون من كل جانب ص54 واحد فإن السطح كله واحد فإن كان من كل جانب اثنان وهو متساوى الأضلاع والزوايا فالسطح كله أربعة أمثال السطح الذى هو ذراع فى ذراع ... وكل سطح مربع متساوى الأضلاع فإن أحد أضلاعه فى واحد جذره وفى اثنين جذره صغر هذا السطح أو كبر وكل مثلث متساوى الأضلاع فإن ضربك عموده ونصف القاعدة التى يقع عليها العمود هو تكسير ذلك المثلث ...ص55
كما استخدمه فى حساب ثمن بيع الشىء فقال :
"فإن قال عشرة أقفزة حنطة أو شعيرا بعت كل منهما بسعر ثم جمعت ثمنهما فكان ما اجتمع مثل فضل ما بين السعرين ومثل ما بين الكيلين فخذ ما شئت فإنه يجوز فكأنك اخذت أربعة وستة فقلت بعت كل واحد من الأربعة بشىء فضربت أربعة فى شىء فصار أربعة اشياء وبعت الستة كل واحد بمثل نصف الشىء الذى بعت به أربعة وثم شئت بثلثه وإن شئت بربعه أو ما شئت فإنه يجوز فإن كان بيعك ألأخر بنصف شىء فاضرب نصف الشىء فى ستة فيكون ثلاثة اشياء اجمعها مع الأربعة الأشياء فتكون سبعة أشياء تعدل ما بين الكيلين وهو قفيزان وفضل ما بين السعرين وهو نصف شىء فيكون سبعة أشياء تعدل اثنين ونصف شىء فألق نصف شىء من سبعة أشياء فتبقى ستة أشياء ونصف شىء تعدل درهمين فالشىء الواحد أربعة أجزاء من ثلاثة عشر فتقوا باغ الأربعة ص 43 كل واحد بأربعة أجزاء من ثلاثة عشر درهم وباع الستة كل واحد بجزأين من ثلاثة عشر درهم فبلغ ذلك ثمانية وعشرين جزء "ص44
وأعلن الخوارزمى القاعدة التى توصل لها وهى كون كل الأعداد مركبة من الواحد والواحد داخل فيها فقال :
"وإنى لما نظرت فيما يحتاج الناس إليه من الحساب وجدت جميع ذلك عددا ووجدت جميع الأعداد إنما تركبت من الواحد والواحد داخل فى جميع الأعداد ووجدت جميع ما يلفظ له من الأعداد ما جاوز الواحد إلى العشرة يخرج مخرج الواحد ثم تثنى العشرة وتثلث كما فعل بالواحد فيتكون منها العشرون والثلاثون..."ص16
والقاعدة حولها كفار العصر إلى الصفر والواحد وكأنهم يقولون أن الله غير موجود لأن الصفر عندهم يعنى العدم بينما اصل الوجود واحد وهو الله
ووضع الخوارزمى أصول حساب الجبر والمقابلة الثلاثة فقال :
"ووجدت الأعداد التى يحتاج إليها فى حساب الجبر والمقابلة على ثلاثة ضروب جذور وأموال وعدد مفرد ص16 لا ينسب إلى جذر أو مال فالجذر منها كل شىء مضروب فى نفسه من الواحد وما فوقعه من الأعداد وما دونه من الكسور والمال كل ما اجتمع من الجذر المضروب فى نفسه والعدد المفرد كل ملفوظ به من العدد بلا نسبة إلى جذر أو مال "ص17
والجذر فى الجبر الحالى هو الرمز س والأموال هى الرمز س2 والعدد المفرد لا يحتوى على س وتحويل الكلمات إلى رموز هو ما أفقد دراسة الجبر جاذبيتها فهى مادة جافة لا يجد فيها الدارس سوى رموز وأعداد فقط
وقد بين الرجل التداخلات بين الضروب الثلاثة ونقلنا من كل واحدة منها بعض يسير من كلامه وهى:
" فأما الأموال التى تعدل الجذور فمثل قولك مال يعدل خمسه أجذاره فجذر المال خمسة والمال خمسة وعشرون وهو مثل خمسة أجذاره "ص17
"وأما الأموال التى تعدل العدد فمثل قولك مال يعدل تسعة فهو المال وجذره ثلاثة وكقولك خمسة أموال تعدل ثمانين فالمال الواحد خمس الثمانين وهو ستة عشر "ص18
"وأما الجذور التى تعدل عددا فكقولك جذر يعدل ثلاثة من العدد فالجذر ثلاثة والمال الذى يكون منه تسعة "ص18
" فأما الأموال والجذور التى تعدل العدد فمثل قولك مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهما ومعناه أى مال إذا زدت عليه مثل عشرة أجذاره بلغ ذلك تسعة وثلاثين فبابه أن تنصف الأجذار وهى فى ص19هذه المسألة خمسة فنضربها فى مثلها فتكون خمسة وعشرين فنزيدها على التسعة والثلاثين فتكون أربعة وستين فنأخذ جذرها وهو ثمانية فتنقص منه نصف الأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذى تزيد والمال تسعة"ص19
"وأما الأموال والعدد التى تعدل الجذور فنحو قولك مال وأحد وعشرين من العدد يعدل عشرة أجذاره ومعناه أى مال زدت عليه واحد وعشرين درهما كان ما اجتمع مثل عشرة أجذار ذلك المال فبابه أن تنصف الأجذار فتكون خمسة فاضربها فى مثلها تكون خمسة وعشرين فانقص منها الواحد والعشرين التى ذكر انها مع المال فيبقى أربعة فخذ جذرها وهو اثنان فانقصه من نصف الأجذار وهو خمسة فيبقى ثلاثة وهو جذر المال الذى تريده والمال تسعة "ص20
"وأما الجذور والعدد التى تعدل الأموال فنحو قولك ثلاثة أجذار وأربعة من العدد تعدل مالا فبابه أن تنصف الأجذار فتكون واحدا ونصفا فاضربها فى مثلها فتكون اثنين وربعا فزدها على الأربعة فتكون ستة "ص21
وقد ذكر فى كتابه أصول الضرب والجمع والنقصان وهو الطرح ومما قاله فى الضرب :
"اعلم أنه لابد لكل عدد يضرب فى عدد من أن يضاعف أحد العددين بقدر ما فى الأخر من الآحاد فإذا كانت عقود ومعها آحاد أو مستثنى منها آحاد فلابد من ضربها أربع مرات العقود فى العقود والعقود فى الآحاد والآحاد فى العقود والآحاد فى الآحاد فإذا كانت الآحاد التى مع العقود زائدة جميعا فالضرب الرابع زائد وإذا كانت ناقصة جميعا فالضرب الرابع زائد أيضا وإذا كان أحدهما زائدا والأخر ناقضا جميعا فالضرب الرابع زائد أيضا وهو مثل عسرة وواحد فى عشرة واثنين فالعشرة فى العشرة مائى والواحد فى العشرة عشرة زائدة والاثنان فى العشرة عشرون زائدة والواحد فى الاثنين اثنان زائدان فذلك كله مائة واثنان وثلاثون "ص27
ثم حدد الخوارزمى قاعدة حساب ثمن الشىء فقال :
"اعلم أن معاملات الناس كلها فى البيع والشرى والصرف والإجارة وغير ذلك على وجهين بأربعة أعداد يلفظ بها السائل وهى المسعر والسعر والثمن والمثمن فالعدد الذى هو المسعر مباين للعدد الذى هو الثمن والعدد الذى هو السعر مباين للعدد الذى هو المثمن وهذا الأربعة أعداد ثلاثة منها أبدا ظاهرة معلومة وواحد منها مجهول وهو الذى فى قول القائل كم وعنه يسأل السائل "ص53
المجهود المبذول فى الكتاب هو جهد كبير ورغم ذلك فإن الخوارزمى ومن قبله ومن بعده صعبوا الأمور فمثلا فى الفقرة السابقة فى حساب ثمن الشىء افترض شيئا مجهولا وفى واقع الحياة يكون كل شىء معلوما المسعر والسعر والثمن والمثمن فالبائع يعلن سعر وحدة الشىء والشارى يسأله إن لم يكن قد كتب السعر على الشىء ومن ثم إذا اخذ الشارى كذا وحدة ضرب سعر الواحدة فى عدد ما اشتراه أو جمع الرقم مكررا عدة مرات حسب معرفة كل منهم لعلم الحساب العددى والآن أصبح المعداد أو الآلة الحاسبة تسهل على الكل التفكير فتخرج السعر الكلى فى لحظة بمجرد ضرب سعر الوحدة فى عددها
وفى علم توزيع الميراث وهو يشمل أكثر من ثلث الكتاب نجد صعوبة فى فهم هذا الحساب لكونه يزيد المسائل صعوبة فمثلا المسائل فى الميراث فالأنصبة فيها تساوى واحد أو تقل أو تزيد وبدلا من اكتشاف طريقة سهلة اخترع القوم حساب العول والزيادة بينما المسألة سهلة وهى أن كل مسألة تقل تكون وحدة التوزيع حسب جمع الكسور فمثلا إذا كان الجمع نصف وربع فالمال يقسم على أن وحدة التوزيع 75 أى ثلاثة أرباع وإذا كان زائد تكون وحدة التوزيع حسب جمع الكسور فإن كانت مثلا واحد وربع فالمال يقسم على وحدات واحد وربع والوحدة التى لا تكمل إما توزع بنفس الطريقة ولكن عشرات مثلا بدلا من مئات أو يتم شراء طعام بها يأكل منه الورثة والمساكين والأقارب واليتامى كما قال تعالى "وإذا حضر القسمة أولوا القربى واليتامى والمساكين فارزقوهم منه وقولوا لهم قولا معروفا"
المسألة اصبحت سهلة مع عصر الحاسبات أى المعدادات والغالب هو بقاء وحدة منقوصة فى نهاية الحساب وهذه الوحدة كما قلنا يطلق القاضى فيها قول الله فى إطعام الناس فإن لم تكن تكفى أخذ وحدة أخرى كاملة والغرض من هذا القول الإلهى هو تذكير من حضروا القسمة بأنهم شركاء وأن المال ليس لهم وحدهم فى النهاية بدليل اطعام غير الورثة من المساكين واليتامى منه